1, 2, 3, $\LaTeX$ testando...

Definição. Seja f uma forma bilinear sobre o espaço V e seja G o conjunto dos operadores que conservam f. Tomando o operador T desse grupo, dizemos que T conserva f

$f(Tv,Tw)=f(v,w)$

para quaisquer v,w em V.

Teorema. Seja f uma forma bilinear não-degenerada sobre um espaço vetorial V de dimensão finita. O conjunto dos operadores lineares sobre V que conservam f é um grupo em relação à operação de composição.

Demonstração:
Seja I o operador idêntico. então para f temos

$f(Iv,Iw) = f(v,w)$

para quaisquer v,w em V. Portanto, I está em G.

Se S e T são operadores que conservam f, a composição ST também conservará f. 

Com efeito,

$f(STv,STw) = f(S(Tv),S(Tw)) = f(Tv,Tw)=f(v,w)$

De fato, ST conserva f.

Sendo a composição de funções associativa, a composição dos operadores também será associativa.

Do fato de que f é não-degenerada, demonstraremos que qualquer operador T em G é inversível e que T$^{-1}$ também está em G. Assim, suponhamos T em G tal que G conserva f e seja v um vetor no núcleo de T, isto é, Tv$=$0. Então, para todo w em V

$f(v,w)=f(Tv,Tw)=f(0,Tw)=f(0\cdot v,Tw)=0\cdot f(v,Tw)=0$

Como $f(v,w)=0$ para todo v em V, e f é não-degenerada, v$=$0. Portanto, se v está no núcleo de T, temos Tv$=$0 que implica em v$=$0. Logo, T é inversível. Mostremos então que T$^{-1}$ também conserva f:

Com efeito, se T está em G, então T$^{-1}$ também está em G

$f(T^{-1}v,T^{-1}w)=f(TT^{-1}v,TT^{-1}w)=f(Iv,Iw)=f(v,w)$

Portanto, o conjunto dos operadores lineares sobre V que conservam f é um grupo em relação a operação de composição.

$\Box$

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